Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點O為邊AB的中點，OD⊥BC于點D，AM⊥BC于點M，以點O為圓心，線段OD為半徑的圓與AM相切于點N．
（1）求證：AN=BD；
（2）填空：點P是⊙O上的一個動點， ①若AB=4，連結OC，則PC的最大值是；
②當∠BOP=時，以O，D，B，P為頂點四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，連接ON．

∵AM是⊙O的切線，

∴ON⊥AM，

∵OD⊥BC，AM⊥BC，

∴∠ODM=∠ONM=∠DMN=90°，

∴四邊形ODMN是矩形，

∵OD=ON，

∴四邊形ODMN是正方形，

∴OD=ON=DM=MN，

∵OA=OB，OD∥AM，ON∥BM，

∴BD=DM，AN=MN，

∴BD=AN

（2）2 + ；45°或135°
【解析】解：（2）①如圖2中，連接OC、PC．
∵PC≤OC+OP，
∴當點P在CO的延長線時，P、O、C共線時，PC的值最大，最大值為OC+OP．
由（1）可知，BM=AM，∠AMB=90°，
∴∠B=45°，
∵AB=AC=4，
∴△ABC是等腰直角三角形，BM=AM=MC=2 ，OP=OD=BD=DM= ，
∴OA=2，OC= =2 ，
∴PC的最大值為2 + ；②如圖3中，

由題意以O，D，B，P為頂點四邊形是平行四邊形
當OB為對角線時，OP∥BD，可得∠BOP=∠ABC=45°，
當OB為邊時，OP′∥BC，可得∠BOP′=180°﹣∠ABC=135°．
綜上所述，當∠POB=45°或135°時，以O，D，B，P為頂點四邊形是平行四邊形；