Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，AD是△ABC外角∠CAG的平分線，CF⊥AD于F．
（1）試說明四邊形AECF為矩形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是一個正方形？請說明理由．

Answer 1

（1）因為∠BAE=∠CAE，∠GAD=∠CAD，
所以2（∠CAE+∠CAD）=180°，
所以∠CAE十∠CAD=90°，
即∠EAD=90°，
因為AB=AC，AE是角平分線，
所以AE⊥BC，
由于CF⊥AD，
所以四邊形AECF是矩形．

（2）當∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形時，四邊形AECF是正方形，
理由：由于∠BAC=90°，
所以∠CAE=45°，
所以∠CAD=45°，
因為∠AEC=∠AFC=90°，AC=AC，
所以△AEC≌△AFC，
所以AE=AF，
所以四邊形AECF是正方形．