Question

【題目】如圖，拋物線（a≠0）的頂點為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且BO=OC=3AO，直線與y軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）證明：△DBO∽△EBC；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的P點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，）或P（1，）．

【解析】

試題分析：（1）先求出點C的坐標，在由BO=OC=3AO，確定出點B，A的坐標，最后用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）先求出點A，B，C，D，E的坐標，從而求出BC，BE，CE，OD，OB，BD，求出比值，得到得出結論；

（3）設出點P的坐標，表示出PB，PC，求出BC，分三種情況計算即可．

試題解析：（1）∵拋物線，∴c=﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC=3，∵BO=OC=3AO，∴BO=3，AO=1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵該拋物線與x軸交于A、B兩點，∴，∴，∴拋物線解析式為；

（2）由（1）知，拋物線解析式為=，∴E（1，﹣4），∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴BC=，BE=，CE=，∵直線與y軸交于點D，∴D（0，1），∵B（3，0），∴OD=1，OB=3，BD=，∴，，，∴，∴△BCE∽△BDO；

（3）存在，理由：設P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC=，PB=，PC=，∵△PBC是等腰三角形，∴分三種情況討論：

①當PB=PC時，∴=，∴m=﹣1，∴P（1，﹣1）；

②當PB=BC時，∴=，∴m=，∴P（1，）或P（1，﹣）；

③當PC=BC時，∴=，∴m=，∴P（1，）或P（1，）；

綜上所述：符合條件的P點坐標為P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，）或P（1，）．