Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與軸交于點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）P是y軸正半軸上一點，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求點P的坐標；

（3）作直線BC，若點Q是直線BC下方拋物線上的一動點，三角形QBC面積是否有最大值，若有，請求出此時Q點的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P點的坐標為（ 0，）或（ 0，）；（3）點Q（， - ）．

【解析】

（1）把A（﹣1，0），B（3，0）兩點代入y=-x2+bx+c即可求出拋物線的解析式；

（2）由A（﹣1，0），B（3，0）可得AB=4，由△PAB是以AB為腰的等腰三角形，可分兩種情況PA=AB=4時，PB=AB=4時，根據勾股定理分別求出OP的長即可求解；

（3）由拋物線得C（0，-3），求出直線BC的解析式，過點Q作QM∥y軸，交BC于點M，設Q（x，x2-2x-3），則M（x，x-3），根據三角形QBC面積S=QMOB得出二次函數解析式，根據二次函數的性質即可求出Q點坐標及△QBC面積的最大值

解：（1）因為拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

所以可得解得．

所以該拋物線的解析式為：y=x2-2x-3；

（2）由A（﹣1，0），B（3，0）可得AB=4．

因為P是y軸正半軸上一點，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，可得PA=4或PB=4．

當PA=4時，因為A（﹣1，0），所以OP==，所以P（ 0，）；

當PB=4時，因為B（3，0），所以OP==，所以P（ 0，）；

所以P點的坐標為（ 0，）或（ 0，）；

（3）對于y=x2-2x-3，當x=0時，y= -3，所以點C（0，-3）

設直線BC的解析式為：y=kx+b（k≠0），B（3，0），C（0，-3）

可得解得所以直線BC的解析式為：y=x-3．

過點Q作QM∥y軸，交BC于點M，設Q（x，x2-2x-3），則M（x，x-3）．

所以三角形QBC的面積為S=QMOB=[（ x-3）-（x2-2x-3）]×3

= -x2+x．

因為a=-<0，函數圖象開口方向向下，所以函數有最大值，即三角形QBC面積有最大值．此時，x= -=，此時Q點的縱坐標為-，所以點Q（，-）．