Question

（2013•黃陂區模擬）已知：拋物線y=x²+mx+n的頂點D（1，-4）拋物線與坐標軸的交點為A，B，C，
（1）求拋物線的解析式，并求出A，B，C，的坐標；
（2）作如圖所示四個頂點在△ABC三邊上的矩形EFGH．求矩形EFGH的最大面積；
（3）MN=

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，MN是直線y=-x上的一條動線段，當四邊形AMNC的周長最小時，求N的坐標．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=x²+mx+n的頂點為D（1，-4），根據二次函數的性質可得其頂點式為y=（x-1）²-4，展開即得拋物線的解析式為y=x²-2x-3；令y=0時，解方程x²-2x-3=0，可得與x軸的交點A與B的坐標，令x=0，可得與y軸交點C的坐標；
（2）如題目圖1，設G（p，0），H（q，0），運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=-3x-3，直線BC的解析式為y=x-3，則E（q，-3q-3），F（p，p-3），根據矩形的性質得EF∥x軸，得p-3=-3q-3，則p=-3q，再用含q的代數式分別表示GH，GF，根據矩形面積公式得出矩形EFGH的面積=-12（q+

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）²+3，然后由二次函數的性質即可求出矩形EFGH的最大面積；
（3）由于四邊形AMNC的周長=AM+MN+NC+CA，而MN=

2

，CA=

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，為定值，所以當AM+NC的和最小時，四邊形AMNC的周長最小．為此，取D₁（0，-1）得?AMND，則AM=DN，作D關于直線y=-x的對稱點交x軸于點D′（1，0），連接CD′交直線y=-x于點N，此時AM+NC=ND₁+NC=NC+ND′=CD′時最小．運用待定系數法求出直線CD′的解析式，再與y=-x聯立組成方程組，即可求出點N的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+mx+n的頂點為D（1，-4），
∴拋物線的頂點式為y=（x-1）²-4，即為y=x²-2x-3，
當y=0時，x²-2x-3=0，解得x=-1或3，即A點坐標為（-1，0），B點坐標為（3，0），
當x=0時，y=-3，即C點坐標為（0，-3）；

（2）如題目圖1，設G點坐標為（p，0），H點坐標為（q，0）．
易求直線AC的解析式為y=-3x-3，直線BC的解析式為y=x-3，
∴E點坐標為（q，-3q-3），F點坐標為（p，p-3），
∵矩形EFGH中，EF∥HG，
∴p-3=-3q-3，∴p=-3q，
∴GH=p-q=-4q，GF=|p-3|=3-p=3+3q，
∴矩形EFGH的面積=GH•GF=-4q（3+3q）=-12q²-12q=-12（q+

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）²+3，
∴當q=-

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時，矩形EFGH的面積最大，最大面積為3；

（3）取D₁（0，-1），連接AD₁，則AD₁=MN=

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，AD₁∥MN，
∴四邊形AMND₁是平行四邊形，AM=DN．
在x軸上取點D′（1，0），連接CD′交直線MN：y=-x于點N，則DO=D′O=1，∠D₁ON=∠D′ON=45°，
∴MN是線段D₁D′的垂直平分線，即D₁與D′關于直線MN對稱，
∴ND₁=ND′，
∴AM+NC=ND₁+NC=ND′+NC=CD′最小，則四邊形AMNC的周長最小．
運用待定系數法求出直線CD′的解析式為y=3x-3，
由

y=3x-3 y=-x

，解得

x= 3 4 y=- 3 4

，
∴N的坐標為（

3

4

，-

3

4

）．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到拋物線的頂點式，二次函數的最值，二次函數圖象上點的坐標特征，運用待定系數法求直線的解析式，矩形的面積，軸對稱-最短路線問題，函數圖象交點的求法等知識．運用數形結合、方程思想是解題的關鍵．