Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，并且AD是⊙O的直徑，C是的中點，AB和DC的延長線交于⊙O外一點E.

求證：(1)∠EBC＝∠D；

(2)BC＝EC.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據圓內接四邊形的性質可知：∠ABC＋∠D＝180°，而∠ABC＋∠EBC＝180°，從而可以證明∠EBC＝∠D；

（2）連接AC，先根據直徑所對的角是直角，圓內接四邊形的性質和等弧所對的圓周角相等得到∠E＝∠D，∠EBC＝∠E，從而根據等角對等邊可證BC＝EC.

證明：(1)∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠ABC＋∠D＝180°.

又∵∠ABC＋∠EBC＝180°，

∴∠EBC＝∠D.

(2)如圖，連結AC.

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD＝90°，

∵C是的中點，∴∠EAC＝∠CAD，

而∠EAC與∠E互余，∠CAD與∠D互余，

∴∠E＝∠D，由(1)得∠EBC＝∠D，

∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC.