Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CB、CD是⊙O的兩條切線，D為切點，AC與⊙O交于點E，連接BE．

（1）求證：△BEC∽△ABC；
（2）若CE＝4，AE＝5，求切線CD的長．

Answer 1

（1）根據圓周角定理及切線的性質可得∠4＝90°，∠1＝90°，即可得到∠2＝∠1，再結合公共角∠3即可證得結論；（2）6

試題分析：（1）根據圓周角定理及切線的性質可得∠4＝90°，∠1＝90°，即可得到∠2＝∠1，再結合公共角∠3即可證得結論；
（2）先求得AC的長，再根據相似三角形的性質即可求得CB的長，最后根據切線長定理即可求得結果.
（1）如圖：

∵AB是⊙O的直徑，CB是⊙O的切線，
∴ ∠4＝90°，∠1＝90°．
∴ ∠2＝∠4＝90°．
∴ ∠2＝∠1．   
又∵ ∠3＝∠3
∴ △BEC∽△ABC；
（2）∵AC＝CE＋AE＝4＋5＝9
∵ △BEC∽△ABC，
∴．
∴ CB²＝CE·AC＝4×9＝36．
∴ CB＝6
∵ CB、CD是⊙O的兩條切線
∴ CD＝CB＝6．
點評：解題的關鍵是熟記直徑所對的圓周角是直角，切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的對應邊成比例，注意對應字母寫在對應位置上.