Question

（2012•蘇州）如圖，已知第一象限內的圖象是反比例函數y=

1

x

圖象的一個分支，第二象限內的圖象是反比例函數y=-

2

x

圖象的一個分支，在x軸的上方有一條平行于x軸的直線l與它們分別交于點A、B，過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D．若四邊形ABCD的周長為8且AB＜AC，則點A的坐標為

（

1

3

，3）

．

Answer 1

分析：設A點坐標為（a，

1

a

），利用AB平行于x軸，點B的縱坐標為

1

a

，而點B在反比例函數y=-

2

x

圖象上，易得B點坐標為（-2a，

1

a

），則AB=a-（-2a）=3a，AC=

1

a

，然后根據矩形的性質得到
AB+AC=4，即3a+

1

a

=4，則3a²-4a+1=0，用因式分解法解得a₁=

1

3

，a₂=1，而AB＜AC，則a=

1

3

，即可寫出A點坐標．

解答：解：點A在反比例函數y=

1

x

圖象上，設A點坐標為（a，

1

a

），
∵AB平行于x軸，
∴點B的縱坐標為

1

a

，
而點B在反比例函數y=-

2

x

圖象上，
∴B點的橫坐標=-2×a=-2a，即B點坐標為（-2a，

1

a

），
∴AB=a-（-2a）=3a，AC=

1

a

，
∵四邊形ABCD的周長為8，而四邊形ABCD為矩形，
∴AB+AC=4，即3a+

1

a

=4，
整理得，3a²-4a+1=0，（3a-1）（a-1）=0，
∴a₁=

1

3

，a₂=1，
而AB＜AC，
∴a=

1

3

，
∴A點坐標為（

1

3

，3）．
故答案為（

1

3

，3）．

點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式；利用矩形對邊相等的性質建立方程以及用因式分解法解一元二次方程．