Question

【題目】如圖，已知四邊形是平行四邊形，點和在軸上，且為坐標原點，點，和點，連接并延長交軸于點．

(1)求直線的解析式；

(2)若點從出發以2個單位/秒的速度沿軸向右運動，同時點從出發，以1個單位/秒的速度沿軸向左運動，過點，分別作軸的垂線交射線和射線分別于點，，請猜想四邊形的形狀，(點，重合除外)，并證明你的結論．

(3)在(2)的條件下，當點運動多少秒時，四邊形是正方形?直接寫出結論．

Answer 1

【答案】（1）直線AC的解析式為 ；（2）四邊形PEFQ是矩形，證明見解析；（3）點P運動秒或秒時，四邊形EPQF是正方形

【解析】

（1）利用待定系數法即可求出直線AC的解析式；

（2）先利用待定系數法求出直線OA的解析式，進而求出點E，F坐標，即可得出PE=FQ，即可得出結論；

（3）先分兩種情況（點Q在點P左側或右側）求出PQ，利用PE=PQ建立方程即可求出時間．

解：（1）設直線AC的解析式為

∵四邊形ABCO是平行四邊形，且 ，

∴OC=AB=9

∴C（-9，0）

把、C（-9，0）代入得：

∴

∴

∴直線AC的解析式為

（2））四邊形PEFQ是矩形，理由如下：

如圖

∵點A的坐標為（-3，3）

∴直線OA的解析式為

∵點Q從點O出發以1個單位/秒沿x軸向左運動

∴OQ=-t

∴F（-t，t）

∴FQ=t

∵點Q從點O出發以1個單位/秒沿x軸向左運動，

∴OQ=-t，

∴F（-t，t），

∴FQ=t，

∵點P從點C出發以2個單位/秒沿x軸向右運動，

∴CP=2t，

∴OP=-9+2t，

由（1）知，直線AC的解析式為

∴E（-9+2t，t），

∴PE=t，

∴PE=FQ，

∵FQ⊥x軸，PE⊥x軸，

∴∠PQF=90°，FQ∥PE，

∵PE=FQ，

∴四邊形PEFQ是平行四邊形，

∵∠PQF=90°，

∴平行四邊形PEFQ是矩形

∴四邊形PEFQ是矩形；

（3）由（2）知，PC=2t，OQ=t，PE=t，

∴PQ=OC-OQ-CP=9-t-2t=9-3t，或PQ=OQ+CP-OC=3t-9，

∵四邊形PEFQ是正方形，

∴PQ=PE，

∴9-3t=t或3t-9=t，

∴ 或 ，即點P運動秒或秒時，四邊形EPQF是正方形