Question

【題目】已知，如圖，是的直徑，點為上一點，于點，交于點，與交于點，點為的延長線上一點，且.

（1）求證：是的切線；

（2）求證：；

（3）若⊙O的半徑為，的長為，求.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）由∠OEB=∠ACD，∠ACD=∠ABD知∠OEB=∠ABD，由OF⊥BD知∠BFE=90°，即∠OEB+∠EBF=90°，從而得∠ABD+∠EBF=90°，據此即可得證；
（2）連接AD，證△DCG∽△ACD即可得；
（3）先證△CDF∽△GCF得，再證△DCG∽△ABG得，據此知，由，，知AB=2r=5，根據,可得答案．

（1）證明：

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

∴，

∴是的切線；

（2）證明：連接，如圖所示：

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，∴；

（3）∵，∴，

∵，

∴，

而，

∴△CDF∽△GCF，∴，

又∵，，

∴，∴，∴，

∵，，∴，

∴.