Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，矩形的邊在軸上，點坐標為邊、的長分別為3、8，是的中點，反比例函數的圖象經過點，與邊交于點．

（1）求的值及經過、兩點的一次函數的表達式；

（2）若軸上有一點，使的值最小，試求出點的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接、、，在直線上找一點，使得直接寫出符合條件的點坐標．

Answer 1

【答案】（1）k=12，一次函數的表達式為：y=x；（2）P(5，0)；（3）(，)或(，)．

【解析】

（1）先確定出點B，C坐標，進而得出點E坐標，最后用待定系數法，即可求出直線AE解析式；
（2）先找出點F關于x軸的對稱點F'的坐標，進而求出直線EF'的解析式，即可得出結論；
（3）先利用面積和差求出三角形PEF的面積，再求出直線EF的解析式，設出點Q的坐標，過點Q作y軸的平行線交直線EF于G，表示出點G的坐標，利用坐標系中求三角形面積的方法建立方程求解，即可得出結論．

（1）在矩形ABCD中，AB=3，AD=8，

∴CD=AB=3，BC=AD=8，

∵D(6，0)，

∴A(6，8)，C(3，0)，B(3，8)，

∵E是BC的中點，

∴E(3，4)，

∵點E在反比例函數的圖象上，

∴k=3×4=12，

設經過A、E兩點的一次函數的表達式為：y=ax+b，

∴，解得：，

∴經過A.、E兩點的一次函數的表達式為：y=x；

（2）如圖1，由（1）可知，k=12，

∴反比例函數的解析式為：，

∵點F的橫坐標為6，

∴點F的縱坐標為2，

∴F(6，2)，

作點F關于x軸的對稱點F′，則F′(6，2)，

連接EF′交x軸于P，此時，PE+PF的值最小，

∵E(3，4)，

∴由待定系數法可得：直線EF′的解析式為：y=2x+10，

令y=0，則2x+10=0，

∴x=5，

∴P(5，0)；

（3）如圖2，由（2）知，F′(6，2)，

∵E(3，4)，F(6，2)，

∴S△PEF=S△EFF′S△PFF′=×(2+2)×(3+6) ×(2+2)×(5+6)=4，

∵E(3，4)，F(6，2)，

∴由待定系數法得：直線EF的解析式為：y=x+6，

由（1）知，經過A.、E兩點的一次函數的表達式為：y=x，

設點Q(m，m)，

過點Q作y軸的平行線交直線EF于G，

∴G(m，m+6)，

∴QG=|mm6|=|2m+6|，

∵S△QEF=S△PEF，

∴S△QEF=|2m+6|×(3+6)=4，

∴m=或m=，

∴Q(，)或(，)．