Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，點D為AC邊上的動點，點D從點C出發，沿邊CA往A運動，當運動到點A時停止，若設點D運動的時間為t秒，點D運動的速度為每秒1個單位長度

（1）當t=2時，CD=______，AD=______；（請直接寫出答案）

（2）當△CBD是直角三角形時，t=______；（請直接寫出答案）

（3）求當t為何值時，△CBD是等腰三角形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）CD＝2，AD＝8；（2） t=3.6或10秒；（3）t=5秒或6秒或7.2秒時，△CBD是等腰三角形，理由見解析

【解析】

（1）根據CD=速度×時間列式計算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根據AD=AC-CD代入數據進行計算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°時，利用△ABC的面積列式計算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據時間=路程÷速度計算；②∠CBD=90°時，點D和點A重合，然后根據時間=路程÷速度計算即可得解；
（3）分①CD=BD時，過點D作DE⊥BC于E，根據等腰三角形三線合一的性質可得CE=BE，從而得到CD=AD；②CD=BC時，CD=6；③BD=BC時，過點B作BF⊥AC于F，根據等腰三角形三線合一的性質可得CD=2CF，再由（2）的結論解答．

（1）t=2時，CD=2×1=2，

∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，

∴AC==10，

AD=AC-CD=10-2=8；

（2）①∠CDB=90°時，S△ABC=ACBD=ABBC，

即×10BD=×8×6，

解得BD=4.8，

∴CD==3.6，

t=3.6÷1=3.6秒；

②∠CBD=90°時，點D和點A重合，

t=10÷1=10秒，

綜上所述，t=3.6或10秒；

故答案為：（1）2，8；（2）3.6或10秒；

（3）①CD=BD時，如圖1，過點D作DE⊥BC于E，

則CE=BE，

∴CD=AD=AC=×10=5，

t=5÷1=5；

②CD=BC時，CD=6，t=6÷1=6；

③BD=BC時，如圖2，過點B作BF⊥AC于F，

則CF=3.6，

CD=2CF=3.6×2=7.2，

∴t=7.2÷1=7.2，

綜上所述，t=5秒或6秒或7.2秒時，△CBD是等腰三角形．