Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC和BD是它的兩條切線，CO平分∠ACD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AC=2，BC=3，求AB的長．

Answer 1

（1）證明見解析（2）2

（1）證明：過O點作OE⊥CD，垂足為E，

∵AC是切線，∴OA⊥AC。
∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴∠ACO=∠ECO，∠CAO=∠CEO，
又∵OC=OC，∴△ACO≌△ECO（AAS）。∴OA=OE。
∴CD是⊙O的切線。
（2）解：過C點作CF⊥BD，垂足為F，

∵AC，CD，BD都是切線，∴AC=CE=2，BD=DE=3。
∴CD=CE+DE=5。
∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，∴四邊形ABFC是矩形。
∴BF=AC=2，DF=BD﹣BF=1。
在Rt△CDF中，CF²=CD²﹣DF²=5²﹣1²=24，∴AB=CF=2。
（1）過O點作OE⊥CD于點E，通過角平分線的性質得出OE=OA即可證得結論。
（2）過點D作DF⊥BC于點F，根據切線的性質可得出DC的長度，從而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的長，可得出AB的長度。