Question

4．如圖：△ABC中，AB=AC，內切圓⊙O與邊BC、AB分別切于點D、E、F，若∠C=30°，CE=2$\sqrt{3}$，則AC=4．

Answer 1

分析 根據切線長定理，得到D是BC的中點，從而得到A，O，D三點共線．根據等腰三角形的三線合一得到直角三角形ACD．根據切線長定理得到CD=CE，則根據銳角三角函數即可求得AC的長．

解答 解：連接AO、OD；
∵O是△ABC的內心，
∴OA平分∠BAC，
∵⊙O是△ABC的內切圓，D是切點，
∴OD⊥BC；
又∵AC=AB，
∴A、O、D三點共線，即AD⊥BC，
∵CD、CE是⊙O的切線，
∴CD=CE=2$\sqrt{3}$，
∵∠C=30°，CE=2$\sqrt{3}$，
∴CA=$\frac{CD}{cos∠C}$=4，
故答案為：4．

點評 本題運用了切線長定理和等腰三角形的三線合一的性質，關鍵是掌握等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．