Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=2，且拋物線經過A（-1，0），C（0，-5）兩點，與x軸交于點B．

（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）設點P為拋物線上的一個動點，連接PB、PC，若△BPC是以BC為直角邊的直角三角形，求此時點P的坐標；

（3）在拋物線上BC段有另一個動點Q，以點Q為圓心作⊙Q，使得⊙Q與直線BC相切，在運動的過程中是否存在一個最大⊙Q. 若存在，請直接寫出最大⊙Q的半徑；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x-3；y=x2-2x-3；（2）P1（-2，5），P2（1，-4）（3）存在，

【解析】試題分析：(1)、根據拋物線的對稱軸和點A的坐標得出點B的坐標，然后將點B和點C的坐標代入解析式得出一次函數解析式，將二次函數設成交點式，然后將點C的坐標代入求出二次函數的解析式；(2)、根據題意得出AB=4，OB=OC=3，則∠OCB=∠OBC=45°，設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，MB=2，然后分B為直角頂點和C為直角頂點兩種情況分別求出點P的坐標；

(3)、首先設出點Q的坐標，然后得出點Q到直線BC的距離，然后根據點Q到直線BC的距離等于半徑得出答案.

點晴：本題主要考查的就是函數解析式的求法、直角三角形的性質、切線的性質以及分類討論思想.求函數解析式我們一般采用待定系數法進行求解.

在函數里面出現幾何問題時，一定要注意分類討論，然后根據直角三角形直角頂點的不同位置，從而得出兩種不同的情況，分別根據直角三角形的性質得出答案.

在解決這種類型的題目時我們一定要注意分類討論以及根據特殊三角形的性質進行解答，即使有一種不符合題意的情況也需要進行說明，最后根據實際情況進行舍去即可.

在直線和圓的位置關系中，當圓心到直線的距離等于半徑時，則直線與圓相切，對于這種問題分別利用公式得出圓與直線的距離和圓的半徑，然后根據相等列出方程得出答案.

試題解析：（1）∵對稱軸為x=2，且拋物線經過A（1，0）， ∴B（3，0）．

把B（3，0）、C（0，3）分別代入y=mx+n，

得，解得，

∴直線BC的解析式為y=x-3；

∵對稱軸為x=1，且拋物線經過A（-1，0），

∴點B（3，0），

設y=a（x-3）（x+1），

把C（0，-3）代入解得：a=1，

故解析式為：y=x2-2x-3；

（2）由（1）得：AB=4，OB=OC=3，

∴∠OCB=∠OBC=45°.

設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，則MB=2.

①如圖，若B為直角頂點，

設BP交拋物線的對稱軸為點N1，則∠MBP=45°，

∴N1M=MB=2，即N1（1，2），

則直線N1B的表達式為y=-x+3， ，

解得 (舍去)， ，所以P1（-2，5）；

②如圖，若C為直角頂點，設BP交拋物線的對稱軸為點N2，過點N2作y軸的垂線，垂足為點E，

則∠PCE=45°，∴CE=EN2=OM=1，∴ON2=4，即N2（1， -4）,

則直線N2C的表達式為y=-x-3， ，

解得 (舍去)， ，

所以P2（1，-4）；綜上所述，滿足條件的點P共有兩個，分別為P1（-2，5），P2（1，-4）；

（3）存在，最大⊙Q的半徑為 .