Question

【題目】如圖，一次函數y＝kx＋b的圖象與反比例函數y＝的圖象相交于點A(－2，1)，B(1，n)．

(1)求此一次函數和反比例函數的解析式；

(2)在平面直角坐標系的第二象限內邊長為1的正方形EFDG的邊均平行于坐標軸，若點E的坐標為(－a，a)，當曲線y＝ (x＜0)與此正方形的邊有交點時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的解析式為y＝－，一次函數的解析式為y＝－x－1；（2）a的取值范圍為≤a≤＋1.

【解析】（1）∵點A（﹣2，1）在反比例函數y=的圖象上，

∴m=﹣2×1=﹣2，

∴反比例函數解析式為y=﹣；

∵點B（1，n）在反比例函數y=﹣的圖象上，

∴﹣2=n，即點B的坐標為（1，﹣2）．

將點A（﹣2，1）、點B（1，﹣2）代入y=kx+b中得：

，解得：，

∴一次函數的解析式為y=﹣x﹣1 ．

（2）不等式﹣x﹣1﹣（﹣）＜0可變形為：﹣x﹣1＜﹣，

觀察兩函數圖象，發現：

當﹣2＜x＜0或x＞1時，一次函數圖象在反比例圖象下方，

∴滿足不等式kx+b﹣＜0的解集為﹣2＜x＜0或x＞1．

（3）過點O、E作直線OE，如圖所示．

∵點E的坐標為（﹣a，a），

∴直線OE的解析式為y=﹣x．

∵四邊形EFDG是邊長為1的正方形，且各邊均平行于坐標軸，

∴點D的坐標為（﹣a+1，a﹣1），

∵a﹣1=﹣（﹣a+1），

∴點D在直線OE上．

將y=﹣x代入y=﹣（x＜0）得：

﹣x=﹣，即x2=2，解得：x=﹣，或x=（舍去）．

∵曲線y=﹣（x＜0）與此正方形的邊有交點，

∴﹣a≤﹣≤﹣a+1，解得：≤a≤+1．

故當曲線y=（x＜0）與此正方形的邊有交點時，

a的取值范圍為≤a≤+1．