Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=c，AC=b．AD是△ABC的角平分線，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，EF與AD相交于O，已知△ADC的面積為1．

（1）證明：DE=DF；
（2）試探究線段EF和AD是否垂直？并說明理由；
（3）若△BDE的面積是△CDF的面積2倍．試求四邊形AEDF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，

∴DE=DF（角平分線的性質）

（2）

解：垂直．理由如下：

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠EAD=∠FAD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，

在Rt△AED和Rt△AFD中

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS），

∴AE=AF，

∴點A在線段EF的垂直平分線上，

同理點D也在線段EF的垂直平分線上，

∴AD⊥EF

（3）

解：設S△CDF=x，則S△BDE=2x，

∵S△ACD=1，且△AED≌△AFD，

∴S△AED=S△AFD=1﹣x，

∴S△ABD=S△BDE+S△AED=2x+1﹣x=x+1，

又S△ABD= ABDE，S△ACD= ACDF，且AB=c，AC=b，

∴ ×cDE=x+1， ×bDF=1，

∴DE= ，DF= ，

又由（1）可知DE=DF，

∴ = ，解得x= ﹣1，

∵△AED≌△AFD，

∴S△AED=S△AFD=S△ACD﹣S△CDF=1﹣x，

∴S四邊形AEDF=2S△AED=2（1﹣x）=2[1﹣（ ﹣1）]=4﹣ ，

即四邊形AEDF的面積為4﹣

【解析】（1）由角平分線的性質直接可得到DE=DF；（2）可證明△AED≌△AFD，可知AE=AF，利用線段垂直平分線的判定可證明AD是EF的垂直平分線，可證得結論；（3）設△CDF的面積為x，則可分別表示出△BED、△ADE的面積，利用三角形的面積可分別表示出DE和DF，根據DE=DF可得到關于x的方程，可求得x的值，進一步可求得四邊形AEDF的面積．