Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，半徑OC垂直AB，D為弧AC上任意一點，E為弦BD上一點，且BE=AD

（1）試判斷△CDE的形狀，并加以證明．

（2）若∠ABD=15°，AO=4，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）△CDE為等腰直角三角形，證明詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由條件可證明△ADC≌△BEC，則可得到CD=CE，結合AB為直徑可證明∠DCE=90°，可判斷△CDE為等腰直角三角形；
（2）由條件可證明△COD為等邊三角形，則可求得CD=4，利用勾股定理可求得DE的長．

(1)△CDE為等腰直角三角形，

證明如下：

如圖1，連接AC、BC，

則∠DAC=∠DBC，

∵AB為直徑，CO⊥AB，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴AC=BC，

在△ADC和△BEC中

∴△ADC≌△BEC(SAS)，

∴CD=CE，∠DCA=∠BCE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠BCE=90°，

∴∠DCA+∠ACE=90°,即∠DCE=90°，

∴△CDE為等腰直角三角形；

(2)如圖2，連接OD，

則∠AOD=2∠ABD=2×15°=30°，

∵∠AOC=90°，

∴∠DOC=60°，且OD=OC=OA=4，

∴△OCD為等邊三角形，

∴CD=CE=OA=4，

在Rt△CDE中,由勾股定理可得.