Question

【題目】如圖，在⊙中，AB是直徑，BC是弦，BC=BD，連接CD交⊙于點E，∠BCD=∠DBE.

（1）求證：BD是⊙的切線.

（2）過點E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE=，EG=3，求BG的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BG的長為5.

【解析】

（1）連接AE，根據圓周角定理可得∠BAE=∠BCE，由AB是直徑可得∠AEB=90°,進而可得∠BAE+∠ABE=90°，由∠BCD=∠DBE.利用等量代換即可求出∠ABD=90°，可得BD是⊙O的切線；（2）延長EF交⊙O于H，根據垂徑定理可得，進而可得∠ECB=∠BEH，由∠EBC是公共角即可證明△EBC∽△GBE，根據相似三角形的性質可得，根據等腰三角形的性質可得∠D=∠BCE，利用等量代換可得∠D=∠DBE，可得BE=DE，由∠AFE=∠ABD=90°可得EF//BD，根據平行線性質可得∠D=∠CEF，即可證明∠BCE=∠CEF，可得CG=GE，即可得出BC=BG+EG，代入求出BG的長即可.

（1）如圖，連接AE，則∠BAE=∠BCE，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠ABE+∠BCE=90°，

∵∠BCE=∠DBE，

∴∠ABE+∠DBE=90°，即∠ABD=90°，

∴BD是⊙O的切線.

（2）如圖，延長EF交⊙O于H，

∵EF⊥AB，AB是直徑，

∴，

∴∠ECB=∠BEH，

∵∠EBC=∠GBE，

∴△EBC∽△GBE，

∴，

∵BC=BD，

∴∠D=∠BCE，

∵∠BCE=∠DBE，

∴∠D=∠DBE，

∴BE=DE=，

∵∠AFE=∠ABD=90°，

∴BD∥EF，

∴∠D=∠CEF，

∴∠BCE=∠CEF，

∴CG=GE=3，

∴BC=BG+CG=BG+3，

∴，

∴BG=-8（舍）或BG=5，

即BG的長為5.