Question

【題目】如圖，AB是圓O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于點C，且CD=BD．

（1）判斷BD與圓O的位置關系，并證明你的結論；

（2）當OA=3，OC=1時，求線段BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】試題分析: （1）連接OB，由BD=CD，利用等邊對等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC為直角三角形，得到兩銳角互余，等量代換得到OB垂直于BD，即可得證；

（2）設BD=x，則OD=x+1，在RT△OBD中，根據勾股定理得出32+x2=（x+1）2，通過解方程即可求得．

試題解析:

（1）證明：連接OB，

∵OA=OB，DC=DB，

∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，

∵AO⊥OD，

∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，

∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，

∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，

則BD為圓O的切線；

（2）解：設BD=x，則OD=x+1，而OB=OA=3，

在RT△OBD中，OB2+BD2=OD2，

即32+x2=（x+1）2，

解得x=4，

∴線段BD的長是4．