Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+4與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標；

（3）在（2）的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）E（3，8）；（3）點P的坐標是（﹣2，﹣）或（6，0）或（0，4）．

【解析】試題分析：（1）首先根據直線與x軸交于點C，與y軸交于點B，求出點B的坐標是，點C的坐標是 然后根據拋物線經過兩點，求出的值是多少，即可求出拋物線的解析式．
（2）首先過過E作EG∥y軸，交直線BC于G，然后設 則 求出的值是多少；最后根據三角形的面積的求法，求出 進而判斷出當面積最大時，點E的坐標和面積的最大值各是多少即可．
（3）在拋物線上存在點P，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論，根據平行四邊形的特征，求出使得以為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標是多少即可．

試題解析：（1）當時，

∴,

當時，

∴

把和代入拋物線中得：

解得： ，

∴拋物線的解析式為：

（2）如圖1，過E作EG∥y軸，交直線BC于G，

設 則

∵

∴S有最大值，此時

（3）

對稱軸是：

∴

在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．

如圖2，以AM為邊時，由（2），可得點M的橫坐標是3，

∵點M在直線上，

∴點M的坐標是（3，2），

又∵點A的坐標是（﹣1，0），點Q的橫坐標為2，

根據M到Q的平移規律：可知：P的橫坐標為﹣2，

∴

②如圖3，以AM為邊時，四邊形AMPQ是平行四邊形，

由（2），可得點M的橫坐標是2，

∵A（﹣1，0），且Q的橫坐標為2，

∴P的橫坐標為6，

∴P（6，0）（此時P與C重合）；

③以AM為對角線時，如圖4，

∵M到Q的平移規律可得P到A的平移規律

∴點P的坐標是（0，4）

綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，

點P的坐標是或（6，0）或（0，4）．