Question

【題目】在中，，，點(diǎn)在直線上（，除外），的垂線與的垂線交于點(diǎn)，研究和的數(shù)量關(guān)系.

（1）在探究，的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，只需要取邊的中點(diǎn)（如圖），通過(guò)推理證明就可以得到的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你按照這種思路直接寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系：_____________________

（2）當(dāng)點(diǎn)是線段上（，除外）任意一點(diǎn)（其它條件不變），上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？在下圖中畫(huà)出圖形，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）AE=EF；（2）成立，證明見(jiàn)詳解；（3）成立，畫(huà)圖、證明見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）證△AGE≌△EBF即可；

（2）在AC上截取點(diǎn)G使AG=EB，再證△AGE≌△EBF即可；

（3）在AC延長(zhǎng)線上截取點(diǎn)G使AG=EB，再證△AGE≌△EBF即可.

證明：（1）∵AB=AC，∠C=90°，G、E分別是AC、BC的中點(diǎn)

∴AG=BE，CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°

∵AB⊥BF

∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°

∠AGE=180°－∠CGE=135°

∴∠EBF =∠AGE

∵AE⊥EF

∴∠AEC＋∠FEB=90°

∵∠CAE＋∠AEC=90°

∴∠FEB=∠CAE

在△AGE和△EBF中

∴△AGE≌△EBF

∴AE=EF

（2）成立；在AC上截取點(diǎn)G使AG=EB，

∵AB=AC，∠C=90°AG=BE

∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°

∵AB⊥BF

∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°

∠AGE=180°－∠CGE=135°

∴∠EBF =∠AGE

∵AE⊥EF

∴∠AEC＋∠FEB=90°

∵∠CAE＋∠AEC=90°

∴∠FEB=∠CAE

在△AGE和△EBF中

∴△AGE≌△EBF

∴AE=EF

（3）成立，如下圖：在AC延長(zhǎng)線上截取點(diǎn)G使AG=EB

∵AB=AC，∠C=90°AG=BE

∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°

∵AB⊥BF

∴∠EBF=90°－∠CBA=45°

∴∠CGE =∠EBF

∵AE⊥EF

∴∠AEC＋∠FEB=90°

∵∠CAE＋∠AEC=90°

∴∠FEB=∠CAE

在△AGE和△EBF中

∴△AGE≌△EBF

∴AE=EF