Question

【題目】已知如圖，在直角坐標系xOy中，點A，點B坐標分別為（﹣1，0），（0， ），連結AB，OD由△AOB繞O點順時針旋轉60°而得．

（1）求點C的坐標；
（2）△AOB繞點O順時針旋轉60°所掃過的面積；
（3）線段AB繞點O順時針旋轉60°所掃過的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過C作CE⊥OA于E，

∵點A，點B坐標分別為（﹣1，0），（0， ），
∴OA=1，OB= ，
∵△AOB繞點O順時針旋轉60°得到△COD，
∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，
∴OE= OC= ，CE= OC= ，
∴C（﹣ ， ）
（2）解：△AOB繞點O順時針旋轉60°所掃過的面積= + + × = π+
（3）解：如圖2，

線段AB繞點O順時針旋轉60°所掃過的面積═（ ﹣1× ）+（）+（ ﹣ ）= .
【解析】（1）根據題意可作輔助線，過C作CE⊥OA于E，由旋轉的性質可得∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，再由直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可求得OE的長，在直角三角形CEO中，用銳角三角函數可求CE的長，根據點C在第二象限可寫出點C的坐標。
（2）由題意結合圖形可得，△AOB繞點O順時針旋轉60°所掃過的面積=扇形AOC的面積+扇形BOD的面積+三角形BOC的面積。
（3）由題意結合圖形可得，線段AB繞點O順時針旋轉60°所掃過的面積═扇形AOC的面積-三角形AOC的面積+扇形BOD的面積-三角形DOM的面積+三角形BCM的面積。扇形面積=n360.