Question

【題目】已知正方形ABCD，點F是射線DC上一動點(不與C，D重合)．連接AF并延長交直線BC于點E，交BD于H，連接CH，過點C作CG⊥HC交AE于點G．

（1）若點F在邊CD上，如圖1．

①證明：∠DAH=∠DCH；

②猜想：△GFC的形狀并說明理由．

（2）取DF中點M，連接MG．若MG=2.5，正方形邊長為4，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②△GFC是等腰三角形，理由見解析；（2）BE的長為1或7．

【解析】

（1）①根據正方形的性質可得AD=CD，∠ADH=∠CDH，利用SAS可證明△ADH≌△CDH，即可得∠DAH=∠DCH；

②由正方形的性質可得∠DAH+∠AFD=90°，由CG⊥HC可得∠DCH+∠FCG=90°，根據∠AFD=∠CFG，可得∠CFG=∠FCG，即可證明CG=FG，可得△GFC是等腰三角形；

（2）當點F在線段CD上時，連接DE，根據正方形的性質及角的和差關系可得∠E=∠GCE，即可證明CG=EG，由△GFC是等腰三角形可得CG=GF，可得點G為EF中點，即可證明GM是△FDE的中位線，根據中位線的性質可求出DE的長，利用勾股定理可求出CE的長，進而根據BE=BC+CE即可求出BE的長；當點F在DC延長線上時，連接DE，同理可得MG為△FDE的中位線，可求出DE的長，利用勾股定理可求出CE的長，根據BE=BC-CE即可求出BE的長．

（1）①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADH和△CDH中，，

∴△ADH≌△CDH，

∴∠DAH=∠DCH．

②△GFC是等腰三角形，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，CG⊥HC，

∴∠ADF=∠HCG=90°，

∴∠DAH+∠AFD=DCH+∠DCG=90°，

∵∠DAH=∠DCH，∠HFD=∠CFG，

∴∠CFG=∠GCF，

∴CF=CG，

∴△GFC是等腰三角形．

（2）如圖，當點F在線段CD上時，連接DE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠CEF+∠CFG=90°，∠GCE+∠GCF=90°，

∵∠CFG=∠GCF，

∴∠CEF=∠GCE，

∴CG=EG，

∵CG=FG，

∴FG=EG，

∵點M是DF的中點，

∴GM是△DFE的中位線，

∵GM=2.5，

∴DE=2GM=5，

∵正方形ABCD的邊長為4，

∴CE==3，

∴BE=BC+CE=4+3=7．

如圖，當點F在DC的延長線上時，連接DE，

同理可得：MG為△DFE的中位線，

∴DE=2GM=5，

∴CE==3，

∴BE=BC-CE=4-3=1，

綜上所述：BE的長為1或7．