Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，∠PAQ＝45°，將∠PAQ繞著正方形的頂點A旋轉，使它與正方形ABCD的兩個外角∠EBC和∠FDC的平分線分別交于點M和N，連接MN．

（1）求證：△ABM∽△NDA；

（2）連接BD，當∠BAM的度數為多少時，四邊形BMND為矩形，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）22.5°.

【解析】試題分析：（1）由正方形ABCD，BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，可證得∠ABM=∠ADN=135°，又由∠MAN=45°，可證得∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，即可證得△ABM∽△NDA；

（2）由四邊形BMND為矩形，可得BM=DN，然后由△ABM∽△NDA，根據相似三角形的對應邊成比例，可證得BM2=AB2，繼而求得答案．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，

∵BM、DN分別是正方形的兩個外角平分線，

∴∠ABM=∠ADN=135°，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAM=∠AND=45°-∠DAN，

∴△ABM∽△NDA；

（2）∵四邊形BMND為矩形，

∴BM=DN，

∵△ABM∽△NDA，

∴，

∴BM2=AB2，

∴BM=AB，

∴∠BAM=∠BMA=