Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y=﹣x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=x2+bx+c經過A、C兩點，與x軸交于另一點B

（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是第二象限拋物線上的一個動點，連接AD、BD、CD，當S△ACD= S四邊形ACBD時，求D點坐標；
（3）在（2）的條件下，連接BC，過點D作DE⊥BC，交CB的延長線于點E，點P是第三象限拋物線上的一個動點，點P關于點B的對稱點為點Q，連接QE，延長QE與拋物線在A、D之間的部分交于一點F，當∠DEF+∠BPC=∠DBE時，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵令x=0得：y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3，

∴A（﹣3，0）．

將A、C兩點的坐標代入拋物線的解析式的： ，解得： ．

∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3

（2）

解：如圖1所示：

令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1．

∴AB=4．

∵S△ACD= S四邊形ACBD，

∴S△ADC：S△DCB=3：5．

∴AE：EB=3：5．

∴AE=4× = ．

∴點E的坐標為（﹣ ，0）．

設EC的解析式為y=kx+b，將點C和點E的坐標代入得： ，

解得：k=﹣2，b=﹣3．

∴直線CE的解析式為y=﹣2x﹣3．

將y=﹣2x﹣3與y=x2+2x﹣3聯立，解得：x=﹣4或x=0（舍去），

將x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5．

∴點D的坐標為（﹣4，5）

（3）

解：如圖2所示：過點D作DN⊥x軸，垂足為N，過點P作PM⊥x軸，垂足為M．

設直線BC的解析式為y=kx+b，將點C和點B的坐標代入得： ，

解得：k=3，b=﹣3．

∴直線BC的解析式為y=3x﹣3．

設直線DE的解析式為y=﹣ x+n，將點D的坐標代入得：﹣ ×（﹣4）+n=5，解得n=5﹣ = ．

∴直線DE的解析式為y=﹣ x+ ．

將y=3x﹣3與y=﹣ x+ 聯立解得：x=2，y=3．

∴點E坐標為（2，3）．

依據兩點間的距離公式可知：BC=CE= ．

∵點P與點Q關于點B對稱，

∴PB=BQ．

在△PCB和△QEB中 ，

∴△PCB≌△QEB．

∴∠BPC=∠Q．

又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG

∴∠DBE=∠DGB．

又∵∠DBE+∠BDE=90°，

∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°．

∵D（﹣4，5），B（1，0），

∴DM=NB．

∴∠DBN=45°．

∴∠PBM=45°．

∴PM=MB

設點P的坐標為（a，a2+2a﹣3），則BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3．

∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1（舍去）．

∴點P的坐標為（﹣2，3）．

∴PC∥x軸．

∵∠Q=∠BPC，

∴EQ∥PC．

∴點E與點F的縱坐標相同．

將y=3代入拋物線的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ （舍去）．

∴點F的坐標為（﹣1 ，3）．

∴EF=2﹣（﹣1﹣ ）=3+

【解析】（1）先求得A、C兩點的坐標，然后利用待定系數法求解即可；（2）先求得AB的長，然后依據S△ACD= S四邊形ACBD ， 求得AE的長，可得到E的坐標為（﹣ ，0），利用待定系數法可求得CE的解析式，然后CE的解析式與拋物線的解析式聯立可求得點D的坐標；（3）過點D作DN⊥x軸，垂足為N，過點P作PM⊥x軸，垂足為M．先求得BC和DE的解析式，從而可求得點E的坐標，然后可證明BC=BE，然后可證明△PCB≌△QEB，得到∠BPC=∠Q，依據題意可得到∠DBE=∠DGB．接下來，在證明∠PBD=90°，∠DBN=45°，然后可求得∠PBM=45°，設點P的坐標為（a，a2+2a﹣3），則BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3然后依據PM=MB可求得a的值，則可得到點P的坐標，然后可證明EF∥x軸，最后將點F的縱坐標代入拋物線的解析式可求得點F的橫坐標，最后依據EF=xE﹣xF求解即可．