Question

如圖①，四邊形AEFG和ABCD都是正方形，且點F在AD上，它們的邊長分別為12，4．

（1）求S_△DBF；
（2）把正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉45°得圖②，求圖②中的S_△DBF；
（3）把正方形AEFG繞點A旋轉一周，在旋轉的過程中，S_△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵點F在AD上，
∴AF²=4²+4²，即AF=4

2

，
∴DF=12-4

2

，
∴S_△DBF=

1

2

DF×AB=

1

2

×（12-4

2

）×12=72-24

2

；

（2）連接DF，AF．
∵由題意易知AF∥BD，
∴四邊形AFDB是梯形，
∴△DBF與△ABD等高同底，即BD為兩三角形的底，
由AF∥BD，得到平行線間的距離相等，即高相等，
∴S_△DBF=S_△ABD=72；
（3）正方形AEFG在繞A點旋轉的過程中，F點的軌跡是以點A為圓心，AF為半徑的圓，
因為△BFD的邊BD=12

2

，故當F點到BD的距離取得最大、最小值時，S_△BFD取得最大、最小值．
如圖②所示DF₂⊥BD時，S_△BFD的最大值=S△BF₂D=

1

2

×12

2

•（6

2

+4

2

）=120，
S_△BFD的最小值=S_△BF2D=

1

2

×12

2

•（6

2

-4

2

）=24；