Question

（1）如圖，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足為點E，CF⊥AD，垂足為點F，并且AE=DF.
求證：四邊形BECF是平行四邊形.

（2）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E。
①求證：⊿ADE∽⊿BCE；
②如果AD²=AE·AC，求證：CD=CB

Answer 1

1.證明見解析；2.（1）證明見解析；（2）證明見解析.

試題分析：(1)通過全等三角形（△AEB≌△DFC）的對應邊相等證得BE=CF，由“在同一平面內，同垂直于同一條直線的兩條直線相互平行”證得BE∥CF．則四邊形BECF是平行四邊形．
(2)（1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠B，又由對頂角相等，可證得：△ADE∽△BCE；
（2）由AD²=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可證得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直徑，以求得AC⊥BD，由垂徑定理即可證得CD=CB．
試題解析：(1)∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△AEB與△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（ASA），
∴BE=CF．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF．
∴四邊形BECF是平行四邊形．
(2)（1）如圖，

∵∠A與∠B是對的圓周角，
∴∠A=∠B，
又∵∠1=∠2，
∴△ADE∽△BCE；
（2）如圖，

∵AD²=AE•AC，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
即∠AED=90°，
∴直徑AC⊥BD，
∴，
∴CD=CB．