Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，直線PS分別交AB、CD的延長線于P、S，交BC、AC、AD于Q、E、R，BP＝1，DS＝2．

（1）寫出圖中相似三角形（不含全等三角形）；
（2）請找出圖中除AB＝CD、BC＝AD以外的相等線段，并證明你的判斷．
（3）求四邊形ABQR與四邊形CQRD的面積比．

Answer 1

（1）△SRD∽△SQC、△SRD∽△PRA、△SRD∽△PQB、△PBQ∽△SCQ、△PBQ∽△PAR、△ARE∽△CQE、△PEA∽△SEC；（2）AP＝AD、AC＝SC；（3）5:7.

試題分析：（1）根據相似三角形的判定方法結合圖形的特征求解即可；
（2）由AB＝3，AD＝4，BP＝1，DS＝2結合勾股定理求解即可；
（3）設BQ＝，則QC＝4－，由△PBQ∽△SCQ根據相似三角形的性質可求得x，即可求得BQ、QC的長，由△SRD∽△SQC根據相似三角形的性質可求得RD、AR的長，再根據三角形的面積公式求解即可.
（1）△SRD∽△SQC、△SRD∽△PRA、△SRD∽△PQB、△PBQ∽△SCQ、△PBQ∽△PAR、△ARE∽△CQE、△PEA∽△SEC；
（2）∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，BP＝1，DS＝2
∴AP＝AD＝4，AC＝SC＝5；
（3）設BQ＝，則QC＝4－
∵△PBQ∽△SCQ
∴，即＝，解得
即BQ＝，QC＝
∵△SRD∽△SQC
∴，RD. QC·，AR＝4
∴S_四ABQR＝（BQ＋AR）·AB·（）·3＝5
∴S_四RDCQ＝S_四ABCD－S_四ABQR＝3×4－5＝7 
∴S_四ABQR：S_四CQRD＝5:7.
點評：相似三角形的判定和性質是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.