Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=6cm，直線CM⊥BC，動點D從點C開始沿射線CB方向以每秒2厘米的速度運動，動點E也同時從點C開始在直線CM上以每秒1厘米的速度運動，連接AD、AE，設運動時間為t秒．
（1）求AB的長；
（2）當t為多少時，△ABD的面積為6cm2？
（3）當t為多少時，△ABD≌△ACE，并簡要說明理由．（可在備用圖中畫出具體圖形）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，

∴2AB2=BC2，

∴AB= =3 cm；

（2）解：過A作AF⊥BC交BC于點F，則AF= BC=3cm，

∵S△ABD=6cm2，

∴AF×BD=12，

∴BD=4cm．

若D在B點右側，則CD=2cm，t=1s；

若D在B點左側，則CD=10cm，t=5s．

（3）解：動點E從點C沿射線CM方向運動2秒或當動點E從點C沿射線CM的反向延長線方向運動6秒時，△ABD≌△ACE．

理由如下：（說理過程簡要說明即可）

①當E在射線CM上時，D必在CB上，則需BD=CE．

∵CE=t，BD=6﹣2t∴t=6﹣2t∴t=2

證明：∵AB=AC，∠B=∠ACE=45°，BD=CE，

∴△ABD≌△ACE．

②當E在CM的反向延長線上時，D必在CB延長線上，則需BD=CE．

∵CE=t，BD=2t﹣6∴t=2t﹣6∴t=6

證明：∵AB=AC，∠ABD=∠ACE=135°，BD=CE

∴△ABD≌△ACE．

【解析】（1）運用勾股定理直接求出；（2）首先求出△ABD中BD邊上的高，然后根據面積公式列出方程，求出BD的值，分兩種情況分別求出t的值；（3）假設△ABD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等得出BD=CE，分別用含t的代數式表示CE和BD，得到關于t的方程，從而求出t的值．