Question

【題目】如圖，在中，∠C=90°，O是斜邊AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與BC交于點F，與AC相切于點D，連接DF、BD，且BD平分∠ODF．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，求陰影部分的面積(結果保留)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S陰影=．

【解析】

（1）由切線的性質可得∠ODA=90°，可證明OD//BC，根據等腰三角形的性質可得∠ODB=∠OBD，由角平分線的定義可得∠ODB=∠BDF，可證明較OBD=∠BDF，可證明OB//DF，可得四邊形ODFB是平行四邊形，根據OB=OD可證明四邊形ODFB是菱形；

（2）如圖，連接OF，根據菱形的性質可證明△OBF是等邊三角形，可得∠FBC=60°，可得∠A=30°，根據平行線的性質可得∠FOD=60°，利用∠FOD的正切函數可求出OD的長，根據S陰影=S△ADO-S扇形OED即可求出陰影部分面積．

（1）∵⊙O與AC相切于點D，

∴OD⊥AC，∠ODA=90°，

∵∠C=90°，

∴OD//BC，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD，

∵BD平分∠ODF，

∴∠ODB=∠BDF，

∴∠OBD=∠BDF，

∴OB//DF，

∴四邊形ODFB是平行四邊形，

∵OD=OB，

∴四邊形ODBF是菱形．

（2）如圖，連接OF，

∵四邊形ODFB是菱形，

∴OB=BF，

∵OB=OF，

∴△OBF是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

∵OD//BC，

∴∠FOD=∠ABC=60°，

∵AD=3，

∴OD==，

∴S陰影=S△ADO-S扇形OED=AD·OD-=．