Question

（本題滿分12分）
如圖，在△ACB中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 2，點P為射線CA上的一個動點，以為圓心，1為半徑作．
（1）連結，若，試判斷與直線AB的位置關系，并說明理由；
（2）當PC為              時，與直線AB相切？當與直線AB相交時，寫出PC的取值范圍為                  ；
（3）當與直線AB相交于點M、N時，是否存在△PMN為正三角形？若存在，求出PC的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）過點P作PD⊥AB于點D，………………………1分
∵PA = PB，∴AD = BD，……………………………………2分
在Rt△ACB中，AC = 4，BC = 2，
∴AB = ，∴AD =，……………3分
∵tan∠CAB= ，∴AD =>1，……………4分
∴與直線AB相離；……………………………………5分
（2）4±，<PC<；……………………9分
（3）當和線段AB相交時，過點P作PH⊥AB于點H，
∵△PMN為正三角形，即△PMN是邊長為1的三角形；
∴，∵tan∠CAB= ，
∴PA=，∴PC=4－；
同理，當交在BA的延長線部分時，PC=4＋．………………12分

略