Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，連結OA、OB、OC，延長BO與AC交于點D，與⊙O交于點F，延長BA到點G，使得∠BGF＝∠GBC，連接FG．

（1）求證：FG是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為6．

①當OD＝4，求AD的長度；

②當△OCD是直角三角形時，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①AD＝，② 當∠ODC＝90°時，S△ABC＝ ，當∠COD＝90°時，S△ABC＝

【解析】

（1）連接AF，分別證∠BGF+∠AFG=90°，∠BGF=∠AFB，即可得∠OFG=90°，進一步得出結論；

（2）①連接CF，則∠ACF=∠ABF，證△ABO≌△ACO，推出∠CAO=∠ACF，證△ADO∽△CDF，可求出DF，BD的長，再證△ADB∽△FDC，可推出ADCD＝20，即，可寫出AD的長；

②因為△ODC為直角三角形，∠DCO不可能等于90°，所以存在∠ODC=90°或∠COD=90°，分兩種情況討論：當∠ODC=90°時，求出AD，AC的長，可進一步求出△ABC的面積；當∠COD=90°時，△OBC是等腰直角三角形，延長AO交BC于點M，可求出MO，AM的長，進一步可求出△ABC的面積．

（1）連接AF，

∵BF為⊙O的直徑，

∴∠BAF=90°，∠FAG=90°，

∴∠BGF+∠AFG=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠ACB=∠AFB，∠BGF=∠ABC，

∴∠BGF=∠AFB，

∴∠AFB+∠AFG=90°，即∠OFG=90°，

又∵OF為半徑，

∴FG是⊙O的切線；

（2）①連接CF，

則∠ACF=∠ABF，

∵AB=AC，AO=AO，BO=CO，

∴△ABO≌△ACO（SSS），

∴∠ABO=∠BAO=∠CAO=∠ACO，

∴∠CAO=∠ACF，

∴AO∥CF，

∴，

∵半徑是6，OD=4，

∴DF=2，BD=10，

∴，即，

∵∠ABD=∠FCD，∠ADB=∠FDC，

∴△ADB∽△FDC，

∴，

∴ADCD=BDDF，

∴ADCD=20，即，

∴AD＝（取正值）；

②∵△ODC為直角三角形，∠DCO不可能等于90°，

∴存在∠ODC=90°或∠COD=90°，

當∠ODC=90°時，

∵∠ACO=∠ACF，

∴OD=DF=3，BD=9，

∴AD=CD，

∴ADCD=AD2=27，

∴，，

∴；

當∠COD=90°時，

∵OB=OC=6，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴，

延長AO交BC于點M，

則AM⊥BC，

∴，

∴，

∴，

∴△ABC的面積為：當∠ODC＝90°時，S△ABC＝ ，當∠COD＝90°時，S△ABC＝.