Question

【題目】已知，△ABC和△ADE均為等腰三角形，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，且∠BAC＝∠DAE＝120°，把△ADE繞點A在平面內自由旋轉．如圖，連接BD，CD，CE，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點，連接MP，PN，MN，則△PMN的面積最大值為_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

如圖，先證明△ABD≌△ACE得到∠1=∠2，BD=CE，再根據三角形中位線的性質得到MP= CE，MP∥CE，PN∥BD，PN= BD，則PM=PN，接著證明∠MPD=∠1+∠3，∠DPN=∠6+∠4，則∠MPN=∠ABC+∠ACB=60°，則可判斷△PMN為等邊三角形，所以S△PMN= ，利用三角形三邊的關系得BD≤AB+AD（當且僅當B、A、D共線時取等號），然后利用BD的最大值為5得到S△PMN的最大值．

解：如圖，

∵∠BAC＝∠DAE＝120°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠1＝∠2，BD＝CE，

∵點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點，

∴PM為△DEC的中位線，PN為△CBD的中位線，

∴MP＝CE，MP∥CE，PN∥BD，PN＝BD，

∴PM＝PN，

∵PM∥CE，

∴∠MPD＝∠2+∠3＝∠1+∠3，

∵PN∥BD，

∴∠5＝∠6，

∵∠DPN＝∠4+∠5＝∠6+∠4，

∴∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠1+∠3+∠6+∠4＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，

∴△PMN為等邊三角形，

∴S△PMN＝＝×（BD）2＝BD2，

當BD最大時，S△PMN的值最大，

而BD≤AB+AD（當且僅當B、A、D共線時取等號），

∴BD的最大值為5+2＝7，

∴S△PMN的最大值為．

故答案為．