Question

問題背景  某課外學習小組在一次學習研討中，得到如下兩個命題：
①如圖1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分別與AB、BC交于點P，Q，若∠MON=120°，則四邊形OPBQ的面積等于三角形ABC面積的三分之一．
②如圖2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分別與AB、BC交于點P，Q，若∠MON=90°，則四邊形OPBQ的面積等于正方形ABCD面積的四分之一．
然后運用類比的思想提出了如下的命題：
③如圖3，O是正五邊形ABCDE的中心，∠MON分別與AB、BC交于點P，Q，若∠MON=72°，則四邊形OPBQ的面積等于五邊形ABCDE面積的五分之一．
任務要求
（1）請你從①、②、③三個命題中選擇一個進行證明；
（2）請你繼續完成下面的探索：
如圖4，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，O是中心，∠MON分別與AB、BC交于點P，Q，若∠MON 等于多少度時，則四邊形OPBQ的面積等于正n邊形ABCDE…面積的n分之一？（不要求證明）

Answer 1

分析：（1）根據正三角形中心的性質得出，∠OAP=∠OBQ以及OA=OB，以及∠APO=∠BQO，進而得出△APO≌△BOQ，
再根據△OAB的面積與△ABC面積關系得出命題正確；
（2）根據規律得出一般公式即可得出∠MON的度數．

解答：證明：（1）連接OA，OB，
∵OA=OB，∠OAP=∠OBQ，∠ABC+∠POQ=180°，
所以∠OPB+∠OQB=180°，∠APO=∠BQO，
∴△APO≌△BOQ，
所以四邊形OPBQ的面積=三角形OAB的面積．
∴四邊形OPBQ的面積等于三角形ABC面積的三分之一．
所以結論①成立．

（2）∠MON=(180°-

(n-2)•180

n

)=

360

n

度．

點評：此題主要考查了正三角形中心的性質以及全等三角形的證明，熟練應用正三角形中心的性質得出，∠OAP=∠OBQ以及△OAB的面積與△ABC面積關系是解決問題的關鍵．