Question

問題背景  某課外學習小組在一次學習研討中，得到如下兩個命題：

①如圖1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分別與AB、BC交于點P,Q，若∠MON = 120°，則四邊形OPBQ的面積等于三角形ABC面積的三分之一.

②如圖2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分別與AB、BC交于點P,Q，若∠MON = 90°，則四邊形OPBQ的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.

然后運用類比的思想提出了如下的命題：

③如圖3，O是正五邊形ABCDE的中心，∠MON分別與AB、BC交于點P,Q，若∠MON = 72°，則四邊形OPBQ的面積等于五邊形ABCDE面積的五分之一.

任務要求 

（1）請你從①、②、③三個命題中選擇一個進行證明；（說明：選①做對的得5分，選②做對的得4分，選③做對的得6分）

（2）請你繼續完成下面的探索：

如圖④，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，O是中心,∠MON分別與AB、BC交于點P,Q，若∠MON 等于多少度時，則四邊形OPBQ的面積等于正n邊形ABCDE…面積的n分之一？（不要求證明）

解：（1）我選           .

 

Answer 1

【答案】

⑴見解析⑵∠MON=

【解析】⑴連接OA，OB，先證明△APO≌△BOQ （OA＝OB，∠OAP＝∠OBQ，∠B+∠POQ＝180°，所以∠OPB+∠OQB＝180°，∠APO＝∠BQO）……………………………4分

所以四邊形OPBQ的面積＝三角形OAB的面積。所以結論成立�！�…………………………2分

⑵∠MON 等于度……………………………3分

（1）根據正三角形中心的性質得出，∠OAP=∠OBQ以及OA=OB，以及∠APO=∠BQO，進而得出△APO≌△BOQ，再根據△OAB的面積與△ABC面積關系得出命題正確；

（2）根據規律得出一般公式即可得出∠MON的度數．