Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC內部，且AD=CD，∠ADC=90°，連接BD，若△BCD的面積為10，則AD的長為多少？

Answer 1

【答案】5

【解析】

作輔助線構建全等三角形和高線DH，設CM=a，根據等腰直角三角形的性質和三角函數表示AC和AM的長，根據三角形面積表示DH的長，證明△ADG≌△CDH，得出DG和AG的長度，即可得出答案.

解：過D作DH⊥BC于H，過A作AM⊥BC于M，過D作DG⊥AM于G，

設CM=a，

∵AB=AC，

∴BC=2CM=2a，

∵tan∠ACB=2，

∴=2，

∴AM=2a，

由勾股定理得：AC=a，

S△BDC=BCDH=10，

=10，

DH=，

∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°，

∴四邊形DHMG為矩形，

∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG，DG=HM，DH=MG，

∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG，

∴∠ADG=∠CDH，

在△ADG和△CDH中，

∵，

∴△ADG≌△CDH（AAS），

∴DG=DH=MG=，AG=CH=a+，

∴AM=AG+MG，

即2a=a++，

a2=20，

在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，

∵AD=CD，

∴2AD2=5a2=100，

∴AD=或（舍），

故答案為：