Question

【題目】如圖1，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線上在第一象限內的一個動點，且點的橫坐標為．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1，連接，，，設的面積為．求關于的函數表達式，并求出當為何值時，的面積有最大值；

（3）如圖2，設拋物線的對稱軸為直線，與軸的交點為．在直線上是否存在點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2），當t=時，S取最大值，最大值為；（3）M(1，6)．

【解析】

（1）由點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；

（2）過點P作PF∥y軸，交BC于點F，由點B、C的坐標利用待定系數法可求出直線BC的解析式，根據點P的坐標可得出點F的坐標，進而可得出PF的長度，再由三角形的面積公式即可求出S關于t的函數表達式；利用二次函數的性質求出S的最大值；

（3）連接PC，交拋物線對稱軸l于點E，由點A、B的坐標可得出對稱軸l為直線x=1，利用平行四邊形對角線互相平分可得出點P、E的坐標，進而可得出點M的坐標．

（1）將A(﹣1，0)、B(3，0)代入y=﹣x2+bx+c，

，

解得，

∴拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+3．

（2）如圖1，過點P作PF∥y軸，交BC于點F．

設直線BC的解析式為y=mx+n(m≠0)，

將B(3，0)、C(0，3)代入y=mx+n，得，

解得：，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

∵點P的坐標為(t，﹣t2+2t+3)，

∴點F的坐標為(t，﹣t+3)，

∴PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t，

∴SPFOBt2t

(t)2．

∵0，

∴當t時，S取最大值，最大值為．

（3）如圖2，連接PC，交拋物線對稱軸l于點E．

∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1．

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE．

∵點C的橫坐標為0，點E的橫坐標為1，

∴點P的橫坐標t=1×2﹣0=2，

∴點P的縱坐標=﹣22+2×2+3=3，

∴點P的坐標為(2，3)．

∵點C的坐標為(0，3)，

∴點E的坐標為(1，3)，

∴點M的坐標為(1，6)．