Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（4,0），點B（0,6），點P是直線AB上的一個動點，已知點P的坐標為（m,n）.

(1)當點P在線段AB上時（不與點A、B重合）

①當m=2,n=3時，求△POA的面積.

②記△POB的面積為S，求S關于m的函數解析式，并寫出定義域.

（2）如果S△BOP：S△POA=1:2,請直接寫出直線OP的函數解析式.（本小題只要寫出結果，不需要寫出解題過程）.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）S=3m，0<m<4；（3）y=3x或y= -3x

【解析】

（1）根據點坐標可得△POA的底和高，根據三角形面積公式計算；（2）根據點坐標可得△POB的底和高，根據三角形面積公式列出S與m的解析式；（3）分別討論當P在第二、第一、第四象限內，根據題意列出等式求P點坐標，確定直線OP解析式.

解：（1）如圖，過P作PM⊥x軸，垂足為M，

∵A（4,0），P（2,3），

∴S△POA==.

（2）如圖，過P作PN⊥y軸，垂足為N，

∵B（0,6），P（m,n），

∴S ==.

∵P在線段AB上（不與點A、B重合）

∴0<m<4

∴S關于m的函數解析式為S=3m，0<m<4.

（3）如圖，設直線AB的解析式為y=kx+b，將A（4,0），B（0,6）代入，

，

解得， ，

∴直線AB的解析式為 ，

∴P（m, ）.

∵S△BOP：S△POA=1:2，∴S△POA=2 S△BOP

①當m≤0，即點P在第二象限時，

根據題意得，

解得，m= -4，

∴P（-4,12），

設直線OP解析式為y=ax，將P點代入，

-4a=12,

解得，a= -3，

∴直線OP解析式為y= -3x；

②當0<m≤4，即點P在第一象限時，

根據題意得，

解得，m= ，

∴P（,4），

設直線OP解析式為y=ax，將P點代入，

a=4,

解得，a= 3，

∴直線OP解析式為y= 3x；

③當m>4，即點P在第四象限時，

根據題意得，

解得，m= -4（不符合題意，舍去） .

綜上所述，直線OP的解析式為：y=3x或y= -3x