Question

【題目】如圖，一次函數y=x+3與坐標軸交于A、C兩點，過A、C兩點的拋物線y=ax2-2x+c與x軸交于另一點B拋物線頂點為E，連接AE．

（1）求該拋物線的函數表達式及頂點E坐標；

（2）點P是線段AE上的一動點，過點P作PF平行于y軸交AC于點B連接EF，求△PEF面積的最大值及此時點P的坐標；

（3）若點M為坐標軸上一點，點N為平面內任意一點，是否存在這樣的點，使A、E、M、N為頂點的四邊形是以AE為對角線的矩形？如果存在，請直接寫出N點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x+3，頂點E（-1，4）；（2）當x=-2時，S△PEF有最大值為，點P（-2，2）；（3）點N坐標為：N（-3，4）或（-1，4）或（1，-4）或（3，-4）．

【解析】

（1）一次函數y=x+3與坐標軸交于A、C兩點，則點A、C的坐標為（-3，0）、（0，3），將點A、C的坐標代入二次函數表達式，即可求解；
（2）S△PEF=PF×（xE-x）=×（2x+6-x-3）（-1-x）=-（x+3）（x+1），即可求解；
（3）分點M（m，0）在x軸上、點M在y軸上兩種情況分別求解．

（1）一次函數y=x+3與坐標軸交于A、C兩點，則點A、C的坐標為（-3，0）、（0，3），

將點A、C的坐標代入二次函數表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：y=x2-2x+3，

頂點E（-1，4）；

（2）將點A、E的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線AE的表達式為：y=2x+6，

設點P（x，2x+6），則點F（x，x+3），

S△PEF=PF×（xE-x）=×（2x+6-x-3）（-1-x）=-（x+3）（x+1），

當x=-2時，S△PEF有最大值為，

此時點P（-2，2）；

（3）點A、E的坐標分別為（-3，0）、（-1，4），AE2=20，

①當點M（m，0）在x軸上時，

設點N（s，t），

則AE=MN，且AE中點坐標為MN中點坐標，

即：，解得：，

故點N（-3，4）或（-1，4）；

②當點M在y軸上時，

同理可得：點N（1，-4）或（3，-4）；

綜上，點N坐標為：N（-3，4）或（-1，4）或（1，-4）或（3，-4）．