Question

【題目】如圖，點A（0，2）在y軸上，點B在x軸上，作∠BAC＝90°，并使AB＝AC．

（1）如圖1，若點B的坐標為（﹣3，0），求點C的坐標．

（2）如圖2，若點B的坐標為（﹣4，0），連接BC交y軸于點D，AC交x軸于點E，連接DE，求證：BE＝AD+DE．

（3）在（1）的條件下，如圖3，F為（4，0），作∠FAG＝90°，并使AF＝AG，連接GC交y軸于點H，求點H的坐標．

Answer 1

【答案】（1）C（2，﹣1）；（2）證明見解析；（3）H（0，﹣）．

【解析】

（1）作CH⊥y軸于H，證明△BAO≌△ACH，根據全等三角形的性質求出OH，CH，得到點C的坐標；

（2）作CG⊥AC交y軸于G，分別證明△BAE≌△ACG、△CDG≌△CDE，根據全等三角形的性質得到DG＝DE，結合圖形證明；

（3）作GM⊥y軸于M，CN⊥y軸于N，根據（1）的結論求出點G的坐標和點C的坐標，利用待定系數法求出直線CG的解析式，求出點H的坐標．

（1）作CH⊥y軸于H，

則∠HAC+∠C＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠HAC+∠BAO＝90°，

∴∠BAO＝∠C，

在△BAO和△ACH中，

，

∴△BAO≌△ACH（AAS），

∴CH＝OA＝2，AH＝OB＝3，

∴OH＝AH﹣OA＝1，

則點C的坐標為（2，﹣1）；

（2）作CH⊥y軸于H，CG⊥AC交y軸于G，

由（1）得，OH＝OA，

∵OE∥CH，

∴AE＝EC，

∵∠AOE＝90°，∠ACG＝90°，

∴∠AEB＝∠CGA，

在△BAE和△ACG中，

，

∴△BAE≌△ACG（AAS），

∴AG＝BE，CG＝AE＝EC，

在△CDG和△CDE中，

，

∴△CDG≌△CDE（SAS），

∴DE＝DG，

∴BE＝AG＝AD+DG＝AD+DE；

（3）作GM⊥y軸于M，CN⊥y軸于N，

由（1）得，△AOB≌△CNA，△AOF≌△GMA，

∴CN＝OA＝2，GM＝OA＝2，AM＝OF＝4，AN＝OB＝3，

∴ON＝AN﹣OA＝1，OM＝AM﹣OA＝2，

則點G的坐標為（﹣2，﹣2），點C的坐標為（2，﹣1），

設直線CG的解析式為y＝kx+b，

則，

解得，k＝，b＝﹣，

∴直線CG的解析式為y＝x﹣，

當x＝0時，y＝﹣，

∴點H的坐標為（0，﹣）．