Question

【題目】（數學概念）

若等邊三角形的三個頂點D、E、F分別在△ABC的三條邊上，我們稱等邊三角形DEF是△ABC的內接正三角形．

（概念辨析）

（1）下列圖中△DEF均為等邊三角形，則滿足△DEF是△ABC的內接正三角形的是 ．

A．　　　　B．

C．

（操作驗證）

（2）如圖①．在△ABC中，∠B＝60°，D為邊AB上一定點（BC＞BD），DE＝DB，EM平分∠DEC，交邊AC于點M，△DME的外接圓與邊BC的另一個交點為N．

求證：△DMN是△ABC的內接正三角形．

（知識應用）

（3）如圖②．在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝45°，BC＝2，D是邊AB上的動點，若邊BC上存在一點E，使得以DE為邊的等邊三角形DEF是△ABC的內接正三角形．設△DEF的外接圓⊙O與邊BC的另一個交點為K，則DK的最大值為 ，最小值為 ．

Answer 1

【答案】（1）C；（2）證明見解析；（3）2，．

【解析】

（1）由概念即可得；

（2）由等弧所對的圓周角相等和角平分線定理即可證得；

（3）

（1）由概念即可得答案為：C;

（2）∵DE=DB，∠B=60°

∴∠DEB=∠B=60°

∴∠DMN=∠DEB=60°

∴∠DEC=180°-∠DEB=120°

∵EM平分∠DEC

∴∠DEM= ∠DEC=60°

∴∠DNM=∠DEM==60°

∴∠NDM=180°-∠DMN-∠DNM=60°

∴∠NDM=∠DMN=∠DNM=60°

∴△DMN是正三角形

∵由概念得△DMN是△ABC的內接三角形

∴△DMN是△ABC的內接正三角形.

（3）2 ；

思路：①最大值

如圖，當 K 與C 重合時， DK 最大，而△ BDK 是等邊三角

形，所以 DK BK BC 2

②最小值

如右圖，設 DK=BD=BK=x ，則CK=2- x .

由手拉手模型：△ BDK 和△ DEF 都是等邊三角形，且共點 D.易證△ BDE △ KDF .

∴ BE= KF

∵∠DKF=∠BDK= 60°，

∴ KF / / AB

∴

即

下面在圖中求AB，

AB=,

∵BE≤BC=2，