Question

【題目】閱讀下列材料，并解答后面的問題．

在學習了直角三角形的邊角關系后，小穎和小明兩個學習小組繼續探究任意銳角三角形的邊角關系：在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c．

（1）小明學習小組發現如下結論：

如圖1，過A作AD⊥BC于D，則sinB=，sinC=即AD=csinB，AD=bsinC，于是_____=______即，同理有，

則有

（2）小穎學習小組則利用圓的有關性質也得到了類似的結論：

如圖2，△ABC的外接圓半徑為R，連結CO并延長交⊙O于點D，連結DB，則∠D=∠A，

∵CD為⊙O的直徑，∴∠DBC=90°，

在Rt△DBC中，

∵，

∴，

同理：，

則有

請你將這一結論用文字語言描述出來: ．

小穎學習小組在證明過程中略去了“”的證明過程，請你把“”的證明過程補寫出來．

（3）直接用前面閱讀材料中得出的結論解決問題

規劃局為了方便居民，計劃在三個住宅小區A、B、C之間修建一座學校，使它到三個住宅小區的距離相等，已知小區C在小區B的正東方向千米處，小區A在小區B的東北方向，且A與C之間相距千米，求學校到三個小區的距離及小區A在小區C的什么方向？

Answer 1

【答案】（1）csinB，bsinC；（2）在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑；（3）學校到三個小區的距離為1千米，小區A在小區C的北偏西15°的方向．

【解析】

（1）由AD=csinB，AD=bsinC可得答案；

（2）由結論可總結為：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑，據此解答即可；

（3）根據題意畫出圖形如圖，則∠B=45°，BC=千米，AC=千米，設學校的位置為點O，則OA=OB=OC=R，由閱讀材料的結論可得：，由此即可求出∠BAC的度數和R的值，進而可求出∠ACB的度數，即得∠ACN的度數，問題即得解決．

解：（1）由AD=csinB，AD=bsinC得：csinB=bsinC；

故答案為：csinB，bsinC；

（2）由這一結論用文字語言描述出來是：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑．

故答案為：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑；

（3）如圖，由題意得：∠B=45°，BC=千米，AC=千米，設學校的位置為點O，則OA=OB=OC=R，

由閱讀材料的結論可得：，

即，

解得：，千米，

∴∠BAC=60°，

∴∠ACB=180°－45°－60°=75°，

∴∠ACN=15°，即小區A在小區C的北偏西15°的方向．

答：學校到三個小區的距離為1千米，小區A在小區C的北偏西15°的方向．