Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，，點．

（1）在圖①中，點坐標為__________；

（2）如圖②，點在線段上，連接，作等腰直角三角形，，連接．證明：；

（3）在圖②的條件下，若三點共線，求的長；

（4）在軸上找一點，使面積為2．請直接寫出所有滿足條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)(1,3)；

(2)答案見解析；

(3)OD=1

(4)F的坐標是或

【解析】

（1）過C點作軸，垂足為F，在證明了后可得到線段BM、CM的長，再求出線段OM的長，便可得點C的坐標；

(2)根據和等式的基本性質證明,再利用“SAS”定理證明后便可得到；

(3) 三點共線時，可推導出軸，從而有；

(4)根據點F在y軸上，所以中BF上的高總是OA=2，在此處只需要利用其面積為2和三角形的面積計算： ，分點F在點B的上方和下方兩種情況討論可得．

(1)過點C作軸，垂足為M，則

∴

∵

∴

∴

又∵

∴

∴，

∵點

∴，

∴

而點C在第一象限，所以點

(2)∵等腰直角三角形

∴

∵

∴

∴

∴

∴

(3)由(2) 可得

∵三點共線且三角形是等腰直角三角形

∴

∴

又

∴四邊形ODCM是矩形

∴

(4)∵點F在y軸上

∴的邊BF的高為OA=2

∵

即

∴

當點F在點B的上方時，其坐標為(3,0)；

當點F在點B的下方時，其坐標為(-1,0)．

故點F的坐標為(3,0)或(-1,0)．