Question

如圖四邊形AOBC是正方形，點C的坐標是（4

2

，0），動點P、Q同時從點O出發，點P沿著折線OACB的方向運動；點Q沿著折線OBCA的方向運動，設運動時間為t．
（1）求出經過O、A、C三點的拋物線的解析式．
（2）若點Q的運動速度是點P的2倍，點Q運動到邊BC上，連接PQ交AB于點R，當AR=3

2

時，請求出直線PQ的解析式．
（3）若點P的運動速度為每秒1個單位長度，點Q的運動速度為每秒2個單位長度，兩點運動到相遇停止．設△OPQ的面積為S．請求出S關于t的函數關系式以及自變量t的取值范圍．
（4）判斷在（3）的條件下，當t為何值時，△OPQ的面積最大？

Answer 1

分析：（1）要求經過O、A、C三點的拋物線的解析式，只要求出點A的坐標就可以，并且根據拋物線的對稱性可知點A是頂點，所以根據正方形的性質很容易求出點A的坐標，從而解決問題．
（2）要求直線PQ的解析式，根據P、Q的速度關系，利用相似三角形的對應邊成比例求出P、Q的坐標，最后利用待定系數法求出其解析式就可．
（3）本問實際上是一個分段函數，P、Q到達不同的位置S與t的解析式是不一樣的，Q到達B點時P在OA的中點，Q到達C點時P到達A點，求出P、Q的 相遇時間分3種情況就可以表示出其函數關系式．
（4）通過第（3）問的函數關系式及圖形就可以比較或計算出△OPQ的最大面積．

解答：解：（1）設AB、OC相交于點D．
∵四邊形ACBO是正方形，
∴OD=CD=

1

2

OC，OD⊥CD，∠OAD=∠AOC=45°，AB=OC，∠OAC=90°，
∴∠ADC=90°，DO=DA，AB=4

2

，OA=AC=BC=OB=4，
∵OC=4

2

，
∴DO=DA=2

2

，
∴點A（2

2

，2

2

），
設經過O、A、C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．由題意得

- b 2a =2 2 4ac-b2 4a =2 2 0=32a+4 2 b+c

，
解得：

a=- 2 4 b=2 c=0

．
故經過O、A、C三點的拋物線的解析式為：y=-

2

4

x2+2x；

（2）設t秒后點Q運動到邊BC上，連接PQ交AB于點R．
∴OP=t，OB+BQ=2t
∴AP=4-t，BQ=2t-4
∵AR=3

2

∴BR=

2

∵△ARP∽△BRQ
∴

AR

BR

=

AP

BQ

∴

4-t

2t-4

=

3 2

2

解得：t=

16

7

∴OP=

16

7

，P（

8 2

7

，

8 2

7

）
BQ=

4

7

，Q（

16 2

7

，-

12 2

7

）
設PQ的解析式為y=kx+b，由題意得

8 2 7 = 8 2 7 k+b - 12 2 7 = 16 2 7 k+b

解得：

k=- 5 2 b=4 2

∴PQ的解析式為：y=-

5

2

x+4

2

；

（3）由題意得
t+2t=16
解得：t=

16

3

∴PQ相遇的時間為

16

3

在整個運動過程中S與t的函數關系式有三種情況：
S=

1 2 t•2t=t2     (0≤t≤2) 1 2 t•4=2t      (2＜t≤4) -6t+32         (4＜t≤ 16 3 )

（4）在（3）的條件下，當t=4時，△OPQ的面積最大．
∴S_△OPQ最大=8

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求拋物線的解析式、直線的解析式以及動點問題在函數中的運用．本題難度比較大，是一道綜合性較強的試題．