Question

如圖，AB為⊙O內垂直于直徑的弦，AB、CD相于點H，△AED與△AHD關于直線AD成軸對稱．
（1）試說明：AE為⊙O的切線；
（2）延長AE與CD交于點P，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半徑和DE的長．

Answer 1

分析：（1）作輔助線OA構建平行線OA∥DE，然后由平行線的性質知∠OAP=90°；
（2）設⊙O的半徑為x．在Rt△AOP中，利用勾股定理知OA²+AP²=OP²，然后將x代入其中，求得x=1.5；再來根據△PED∽△PAO的對應邊成比例求得DE的長度即可．

解答：解：（1）連接OA．
由△AED與△AHD關于直線AD成軸對稱可知∠ADO=∠ADE，
∵AB⊥CD，
∴∠AED=∠AHD=90°．
又∵OA=OD（圓的半徑），
∴∠OAD=∠ODA（等邊對等角），
∴∠OAD=∠ADE（等量代換），
∴OA∥DE（內錯角相等，兩直線平行），
∴∠OAP=90°（兩直線平行，同位角相等），
又∵點A在圓上，
∴AE為⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為x，在Rt△AOP中，
OA²+AP²=OP²
x²+2²=（x+1）²（5分）
解得，x=1.5
∴⊙O的半徑為1.5；
∵OA∥DE，
∴△PED∽△PAO
∴

DP

PO

=

DE

AO

，

1

2.5

=

DE

1.5

，
解得DE=

3

5

．

點評：本題綜合考查了切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質、軸對稱的性質及垂徑定理．解答該題時，借助于輔助線OA，將隱含在題干中的條件半徑OA∥DE浮于水面，降低了題的難度．