Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．
附：閱讀材料
法國(guó)弗朗索瓦韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)羽二次項(xiàng)系數(shù)之比，人們稱(chēng)之為韋達(dá)定理．
即：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2 ， 則：x1+x2=﹣ ，x1x2= 能靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，有時(shí)可以使解題更為簡(jiǎn)單．

（1）求拋物線的解析式；
（2）以點(diǎn)A為圓心，作于直線BC相切的⊙A，求⊙A的面積；
（3）將直線BC向下平移n個(gè)單位后與拋物線交于點(diǎn)M、N，且線段MN=2CB，求直線MN的解析式及平移距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣4），

即y=ax2﹣5ax+4a，

∴4a=﹣2，解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x﹣2；

（2）

解：作AD⊥BC于D，如圖，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣ x2+ x﹣2=﹣2，則C（0，﹣2），

BC= =2 ；

∵∠ABD=∠CBO，

∴Rt△BAD∽R(shí)t△BCO，

∴ = ，即 = ，

∴AD= ，

∵直線BC相切的⊙A，

∴AD為⊙A的半徑，

∴⊙A的面積=π（ ）2= π；

（3）

解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，

把B（4，0），C（0，﹣2）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣2，

設(shè)直線MN的解析式為y= x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），

則x1、x2為方程﹣ x2+ x﹣2= x+2t的兩根，

方程整理為x2﹣4x+2t+4=0，

∴x1+x2=4，x1x2=2t+4，

∵y1﹣y2= x1+t﹣（ x2+t）= （x1﹣x2），

∴MN= = = = = ，

∵M(jìn)N=2CB，

∴ =4 ，解得t=﹣8，

∴直線MN的解析式為y= x﹣8，

∴將直線BC向下平移6個(gè)單位得到直線MN，即平移的距離為6．

【解析】（1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x﹣1）（x﹣4），即y=ax2﹣5ax+4a，然后利用4a=﹣2求出a即可得到拋物線解析式；（2）作AD⊥BC于D，如圖，先確定C（0，﹣2），計(jì)算出BC=2 ，再證明Rt△BAD∽R(shí)t△BCO，利用相似比可計(jì)算出AD= ，然后利用切線的性質(zhì)得到圓的半徑為AD，再利用圓的面積公式求解；（3）先利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式為y= x﹣2，則可設(shè)直線MN的解析式為y= x+t，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），利用兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題得到x1、x2為方程﹣ x2+ x﹣2= x+2t的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=4，x1x2=2t+4，則y1﹣y2= （x1﹣x2），接著利用兩點(diǎn)間的距離公式和完全平方公式得到MN= = ，所以 =4 ，解方程得到t的值，從而得到直線MN的解析式，然后利用直線平移的規(guī)律確定平移的距離．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系和確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商；確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法才能正確解答此題．