Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓交AC于點D，交BC于點E，延長AE至點F，使EF=AE，連接FB，FC．

（1）求證：四邊形ABFC是菱形；

（2）若AD=3，BE=，求半圓和菱形ABFC的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】

（1）根據(jù)對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，證明是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

（2）設(shè)CD＝x，連接BD．利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題；

（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°

∴AE⊥BC，

∵AB=AC，

∴BE=CE，

∵AE=EF，

∴四邊形ABFC是平行四邊形，

∵AC=AB，

∴四邊形ABFC是菱形

（2）設(shè)CD=x．連接BD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∴AB2－AD2=CB2－CD2，

∴（3+x）2－32=2－x2，

解得x=2或－5（舍）

∴AB=AC=5，BD=

∴S菱形ABFC=AC×BD=20

∴S半圓=×π×π