Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，O是對角線AC的中點，延長AB到G，使BG＝AB，連接GO并延長，交BC于E，交AD于F，且AC＝2AB，連接AE、CF．求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

連接CG，推出∠ACB=30°，∠BAC=60°，證△ACG是等邊三角形，得到AG=CG，推出EF⊥AC，證△AOF≌△COE，推出CE=AF，根據菱形的判定得到四邊形AECF是菱形即可．

證明：連接CG，

∵在矩形ABCD中AC＝2AB，

∴∠CAG＝60°，

∵BG＝AB，

∴AG＝AC，

∴△ACG是等邊三角形，

∵O為AC的中點，

∴GF⊥AC，

∵在矩形ABCD中，BC‖AD，

∴∠DAC＝∠BCA，AO＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°，

∴△AOF≌△COE，

∴CE＝AF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．