Question

23、如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點P到x軸的距離是9，拋物線與x軸交于O、M兩點，OM=6；矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點A、D在拋物線上．
（1）P點的坐標

（3，9）

、M點的坐標

（0，6）

；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設矩形ABCD的周長為l，C（x，0），求l與x的關(guān)系式，并求l的最大值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的頂點P到x軸的距離是9與拋物線過點O與M，OM=6，即可求得點P與M的坐標；
（2）設此拋物線的解析式為y=a（x-3）²+9，又由此函數(shù)過原點，利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（3）由點C的坐標，根據(jù)拋物線對稱性與矩形的性質(zhì)，即可求得點D與B的坐標，則可求得CD與BC的長，則問題得解．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點P到x軸的距離是9，
∴點P的縱坐標為9，
∵拋物線過點O與M，OM=6，
∴此拋物線的對稱軸為x=3，
∴P（3，9），M（0，6）；
故答案為：（3，9），（0，6）；

（2）設此拋物線的解析式為y=a（x-3）²+9，
∵此函數(shù)過原點，
∴a（0-3）²+9=0，
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為：y=-（x-3）²+9或y=-x²+6x；

（3）∵C（x，0），
∴點D的坐標為（x，y），
∴y=-x²+6x，
∴點D的坐標為（x，-x²+6x），
點B的坐標為：（6-x，0）
∴BC=6-2x，CD=-x²+6x，
∴l(xiāng)=2（6-2x）+2（-x²+6x）=-2x²+8x+12=-2（x-2）²+20，
∴l(xiāng)與x的關(guān)系式為：l=-2（x-2）²+20，
當x=2時，最大值為20．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，拋物線的對稱性等知識．此題綜合性很強，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應用．